Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

99 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
98
Απάντηση:
α. Έχουμε :    x y 1 x y 1 2xy     
2 2 2 x xy x xy y x y 1 2xy 0 x y 1             
Άρα η (1) παριστάνει το μοναδιαίο κύκλο.
β. Για να παριστάνει η (2) ευθεία αρκεί να μη μηδενίζονται ταυτόχρονα οι
ποσότητες     λ 1 και 2λ 3  .Επειδή
3
λ 1 και λ
2
   η (2) είναι εξίσωση
ευθείας.
Για λ 1 η ευθεία γίνεται
3
5y 3 0 y
5
    .
Για
3
λ
2
  η ευθεία γίνεται
5 16
x 8 0 x
2 5
      .
Οι ευθείες με εξισώσεις
3 16
y και x
5 5
   τέμνονται στο σημείο
16 3
M ,
5 5
 
 
 
.
Για να διέρχονται όλες οι ευθείες από το Μ θα πρέπει:
   
16 3 16λ 16 6λ 9
λ 1 2λ 3 2λ 5 0 2λ 5 0
5 5 5 5
16λ 16 6λ 9 10λ 25 0 που ισχύει.
    
            
 
 
       
γ. Για y 0 από την εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου προκύπτει ότι
2
x 1 x 1    , δηλαδή   A 1,0
Για x 0 από την εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου προκύπτει ότι
2
y 1 y 1    , δηλαδή   B 0,1 .
Για να προκύψει η ΑΒ από την εξίσωση (2) πρέπει να υπάρχει τιμή του για
την οποία τα Α και Β να την επαληθεύουν.
Για το Α είναι     λ 1 1 2λ 3 0 2λ 5 0 λ 2          .
Για το Β είναι    
1
λ 1 0 2λ 3 1 2λ 5 0 λ
2
          .
Άρα η ΑΒ δεν προκύπτει από τις ευθείες της σχέσης (2).