95 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
94
Είναι:
K A
K A
Λ
Λ
x x
y y
x
2 και y
2
2
2
.
Άρα Λ(-2,2). Η ακτίνα του
C
είναι
R
R 5
2
και η εξίσωσή του είναι:
2
2
C : x 2 y 2
25
.
Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία A(1,0), B(3,
2) και την ευθεία
ε: x y 1 0
. Nα βρείτε:
α.
Την εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ.
(Μονάδες 10)
β.
Την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και έχει το κέντρο
του στην ευθεία ε.
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α.
Έστω Μ το μέσο του ΑΒ, τότε
B A
B A
M
M
x x
y y
x
2 και y
1
2
2
, άρα
Μ(2,-1).
Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης
ΑΒ
2 0
λ
1
3 1
οπότε για τη
μεσοκάθετο
μ
του ΑΒ ισχύει ότι
ΑΒ
μ
μ
λ
λ
1
λ
1
.
Επομένως η εξίσωση της μεσοκαθέτου είναι η
y 1 x 2
y
x 3
.
β.
Έστω Κ το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα Α και Β. Επειδή το Κ
ισαπέχει από τα Α και Β θα βρίσκεται στη μεσοκάθετο
μ
του ΑΒ. Όμως το Κ
ανήκει και στην
ε
και άρα οι συντεταγμένες του Κ θα βρεθούν από τη λύση
του συστήματος των
ε
και
μ
. Άρα:
x y 1 0 x x 3 1 0 x 1
y x 3
y
x 3
y
2
δηλαδή Κ(1,-2). Η ακτίνα του κύκλου είναι
2
2
R
KA 1 1 0 2
2
και η εξίσωσή του είναι:
2
2
C: x 1
y 2
4
.
ΘΕΜΑ 2 – 22536