Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ

Έστω η εξίσωση:

   

   

(x λ 6)

(y 2λ)

8λ 12

(1), όπου



α.

Τι παριστάνει γεωμετρικά σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy η εξίσωση (1) όταν



λ 2

και τι όταν



λ 6

;

(Μονάδες 8)

β.

Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ από το διάστημα (2,6) η εξίσωση (1)

στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy παριστάνει κύκλο.

(Μονάδες 8)

γ.

Καθώς το λ μεταβάλλεται στο διάστημα (2,6) , να αποδείξετε ότι τα κέντρα

των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση (1) ανήκουν σε ένα

ευθύγραμμο τμήμα από το οποίο εξαιρούνται τα άκρα του.

(Μονάδες 9)

Απάντηση:

α.

Για

λ 2



έχουμε:



 





 



x 2 6 y 2 2 2 8 2 12 x 4

y 4 0

x 4 0 x 4

y 4 0 y 4

    

          

 

 



  



 





Άρα για

λ 2



η (1) παριστάνει το σημείο





A 4,4



Για

λ 6



έχουμε:



 







x 6 6 y 2 6 6 8 6 12 x y 12 0

x 0

y 12 0 y 12

    

         







 



 





Άρα για

λ 6



η (1) παριστάνει το σημείο





B 0,12

β.

Για να παριστάνει η (1) κύκλο θα πρέπει:











λ 8λ 12 0 λ

8λ 12 0

λ 8λ 12 0

λ 2 λ 6 0 2 λ 6

             

 

    

γ.

Τα κέντρα των κύκλων είναι της μορφής:





Κ λ 6,2λ



, όπου



. Είναι:





x 6

x λ 6

λ x 6

y 2λ

y 2x 12

y 2 x 6

 

  

 











 





Τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται πάνω στην ευθεία

 

ε : y 2x 12

 

Παρατηρώ ότι τα σημεία Α και Β του προηγούμενου ερωτήματος είναι σημεία

της ευθείας αυτής, που δε μπορούν όμως να είναι κέντρα των κύκλων γιατί

ΘΕΜΑ 4 – 22557