100 / 130
99
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε την εξίσωση
2 2
2
x
y (3α 2)x α 4 0
,
α
.
α.
Να αποδείξετε ότι για κάθε
α
, η εξίσωση παριστάνει κύκλο. Κατόπιν, να
βρείτε για ποιες τιμές του α, ο κύκλος διέρχεται από την αρχή Ο.
(Μονάδες 10)
β.
Έστω C ο κύκλος που προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση όταν
α 2
και
y λx
,
λ
μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο C σε σημείο Α διαφορετικό
από το Ο.
i.
Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α συναρτήσει του λ.
(Μονάδες 10)
ii.
Να αποδείξετε ότι το μέσο Μ του τμήματος ΟΑ κινείται σε κύκλο
σταθερής ακτίνας ο οποίος διέρχεται από το Ο.
(Μονάδες 5)
Απάντηση:
α.
Είναι:
2
2 2
2
Α Β 4Γ 3α 2 4 α 4
2
2
2
9α
12α 4 4α 16 5α 12α 20 0
αφού έχει διακρίνουσα
Δ 144 400
256 0
.
Άρα η παραπάνω εξίσωση
παριστάνει κύκλο με κέντρο
3α 2
Κ
,0
2
και ακτίνα
2
5α 12α 20
ρ
2
Ο κύκλος αυτός διέρχεται από την αρχή των αξόνων όταν:
2 2
2
2
0 0
3α 2 0 α 4 0
α
4 α 2
.
β. i.
Για
α 2
ο κύκλος γίνεται
2 2
C: x y 8x 0
και για τις συντεταγμένες του
Α έχουμε:
2
2
2 2
2
x 1 λ x 8 0
x y 8x 0 x λx
8x 0
y λx
y λx
y λx
2
8
x 0 ή x
1 λ
y λx
Για
x 0
είναι και
y 0
ενώ για
2
8
x
1 λ
είναι
2
8λ
y
1 λ
.
ii.
Για τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΟΑ ισχύει ότι:
O A
O A
M
M 2
2
x x
y y
4
4λ
x
, y
2 1 λ
2 1 λ
ΘΕΜΑ 4 - 22586