Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

103 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
102
          
2 2
2 2
2 2 2 x 2 y x 2 y 3 x 2 x 2 y             
2 2 2 2 2 2 2x 2y 8 3x 3y 12 x y 20         
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ο κύκλος 2 2 x y 20   με
κέντρο το   O 0,0 και ακτίνα ρ 20 2 5  .
β. i. Ισχύει:
2
ΓΔ ΓΔ
5 5 ΓΔ 4 5 2ρ
4 4
 
     
 
 
,
άρα τα σημεία Γ και Δ είναι αντιδιαμετρικά, οπότε η ΓΔ διέρχεται από το Ο
και έτσι τα σημεία Γ, Δ, Ο είναι συνευθειακά.
ii. Επειδή η ΓΔ είναι διάμετρος του κύκλου, η γωνία ΓΜΔ είναι ορθή γιατί
είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, άρα ΜΓ ΜΔ . Τότε ΜΓ ΜΔ 0  .
Δίνεται η εξίσωση        2 2 x y (λ 1)x (λ 7)y λ 0 , λ  .
α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του λ, με  λ 5 , παριστάνει κύκλο.
Κατόπιν να βρείτε τι παριστάνει η εξίσωση, όταν  λ 5 .
(Μονάδες 12)
β. Έστω 1 C , 2 C οι κύκλοι που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση όταν
 λ 3 και  λ 9 αντίστοιχα.
i. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι 1 C και 2 C εφάπτονται εξωτερικά.
(Μονάδες 6)
ii. Να βρείτε το σημείο επαφής των κύκλων.
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
α. Είναι:
   
 
2 2 2 2
2
2 2
Α Β 4Γ λ 1 λ 7 4λ
λ 2λ 1 λ 14λ 49 4λ 2 λ 5
       
       
Επειδή 2 2 Α Β 4Γ 0    για κάθε λ 5  , η εξίσωση παριστάνει κύκλο με
κέντρο
λ 1 λ 7
Κ ,
2 2
   
 
 
και ακτίνα
 2
2 λ 5 2
ρ λ 5
2 2

   .
Για λ 5 είναι: 2 2 x y 4x 2y 5 0      
ΘΕΜΑ 4 - 22590