104 / 130
103
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
2
2
x 2 y 1
0 x 2 και y 1
,
οπότε η εξίσωση παριστάνει το σημείο (2,1).
β.
Η εξίσωση του κύκλου είναι:
2
2
2
λ 5
λ 1
λ 7
x
y
2
2
2
.
Για
λ 3
είναι
2
2
1
C : x 1
y 2 2
και για
λ 9
είναι
2
2
2
C : x 4 y 1 8
.
i.
Τα κέντρα των δύο κύκλων είναι
1
K 1, 2
και
2
K 4,1
και οι ακτίνες τους
1
ρ 2
και
2
ρ
8 2 2
. Η απόσταση των κέντρων των δύο κύκλων είναι
2
2
1 2
1 2
Κ Κ
4 1 1 2 9 9 3 2 ρ ρ
,
οπότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.
ii.
Το σημείο επαφής είναι το σημείο τομής των δύο κύκλων έτσι με
σύστημα έχουμε:
2
2
2 2
1
2
2
2 2
2
C : x 1 y 2 2 x y
2x 4y 3 1
C : x 4 y 1 8 x y 8x 2y 9 2
Από
1 2
έχουμε:
2x 4y 8x 2y 3 9 6x 6y 6 y 1 x 3
Τότε η
1
γίνεται:
2
2
2
x
1 x 2x 4 1 x 3
x 4x 4 0 x 2
.
Από την
3
προκύπτει ότι
y 1 2
1
.
Οπότε το σημείο επαφής των δύο κύκλων είναι το
2, 1
.