Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

105 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
104
Θεωρούμε την παραβολή  2
C: y 4x και την κατακόρυφη ευθεία 
p
ε: x
2
,
όπου p είναι η παράμετρος της παραβολής C.
α. Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής.
(Μονάδες 10)
β. Αν η ευθεία ε τέμνει την παραβολή C στα σημεία της Β και Γ , τότε:
i. να βρείτε τις συντεταγμένες των Β και Γ, καθώς και τις εξισώσεις των
εφαπτομένων 1 ε και 2 ε της παραβολής C στα σημεία της αυτά
αντίστοιχα.
(Μονάδες 10)
ii. να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των 1 ε και 2 ε ανήκει στη
διευθετούσα της C.
(Μονάδες 5)
Απάντηση:
α. Είναι
p
2p 4 p 2 1
2
     , άρα η εστία είναι το   E 1,0 και η διευθετούσα
η x 1 .
β. Η ευθεία  ε έχει εξίσωση x 1 . Για να βρούμε τα σημεία Β και Γ λύνουμε
το σύστημα:
2 2 y 2 y 4x y 4
x 1 x 1 x 1
      
 
 
  
       
Άρα   B 1,2 και   Γ 1, 2 .
Η εφαπτομένη της παραβολής στο Β είναι η    
1 ε : y 2 2 x 1 y x 1      
και η εφαπτομένη της παραβολής στο Γ είναι η
     
2 ε : y 2 2 x 1 y x 1         .
Το σημείο τομής Δ των    
1 2 ε , ε είναι:
y x 1 x 1 x 1 2x 2 x 1
y x 1 y x 1 y x 1 y 1 1 0
             
  
   
           
   
δηλαδή   Δ 1,0 . Επειδή Δ x 1   , το σημείο Δ βρίσκεται στη διευθετούσα
της παραβολής.
ΘΕΜΑ 2 - 22511