111 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
110
2
2
2
2
λ 0 4
4
d Κ,ε ρ
2
2 λ 1 4
λ 3 λ 3
λ 1
λ 1
.
Άρα οι ευθείες είναι οι
y 3x
.
γ.
Για να βρούμε τα σημεία επαφής θα λύσουμε τα συστήματα:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x y 4 4 x y 4 4
και
y 3x
y 3x
x
3x 4 4 x
3x 4 4
και
y 3x
y 3x
x 3x 8 3x 12 0 x 3x 8 3x 12 0
και
y 3x
y 3x
x 3
x 3
και
y 3
y 3
Επομένως
1
M 3,3
και
2
M
3,3
. Η παραβολή που διέρχεται από τα
σημεία
1
M
και
2
M
θα έχει άξονα συμμετρίας τον
y y
και θα είναι της
μορφής
2
x 2py
.
Τα σημεία θα την επαληθεύουν άρα:
2
1
3
2p 3 p
2
.
Επομένως η παραβολή θα είναι η
2
x
y
.
Σε καρτεσιανό επίπεδο Οxy θεωρούμε τα σημεία A(
2,
2) , B(0,
4) , την
παραβολή
2
y 4x
και έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο της παραβολής.
α.
Να αποδείξετε ότι:
i.
2
1
(MAB)
y 4y 16
4
ii.
(MAB) 3
(Μονάδες 10)
β.
Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ ώστε το εμβαδόν (MAB) του τριγώνου
ΜΑΒ να γίνεται ελάχιστο. (Μονάδες 5)
γ.
Έστω ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο όταν Μ(1,
2). Να
εξετάσετε αν η εφαπτομένη της παραβολής στο Μ είναι παράλληλη στην
πλευρά ΑΒ του τριγώνου ΜΑΒ.
(Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 4 - 23321