113 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
112
Δίνονται οι ελλείψεις
2
2
1
C : x 4y 20
και
2
2
2
C : 4x
y
20
α.
Να αποδείξετε ότι οι ελλείψεις
1
C
και
2
C
έχουν την ίδια εκκεντρότητα.
(Μονάδες 12)
β.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των ελλείψεων
1
C
και
2
C
ανήκουν στον
κύκλο
2 2
C: x y
8
(Μονάδες 13)
Απάντηση:
α.
Έχουμε:
2
2
2
2
2
2
1
x 4y
x y
C : x 4y 20
1
1
20 20
20 5
Για την έλλειψη
1
C
είναι
2
2
α 20 α 20 2 5, β 5 β 5
και
2 2 2
2
2
α β γ 20 5 γ
15 γ γ 15
.
Η εκκεντρότητα της
1
C
είναι:
1
γ 15 3
ε
α
2
2 5
.
Επιπλέον :
2
2
2
2
2 2
2
4x y
x y
C : 4x y 20
1
1
20 20
5 20
Για την έλλειψη
2
C
είναι
2
2
α
20
α 20 2 5, β
5 β 5
και
y 15
οπότε η εκκεντρότητα της
2
C
είναι
2
γ 15 3
ε
α
2
2 5
.
β.
Για τα σημεία τομής των
1
C
και
2
C
λύνουμε το σύστημα:
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
x y
x 4y 20 x 4y 4x
y
3x 3y
4x y 20 1
4x y 20 4x y 20
4x y 20
Για
x y
η (1) γίνεται:
2
2
2
2
4x
x 20
5x
20
x 4
x 2
.
Άρα τα σημεία
K 2,2
και
Λ 2, 2
είναι τα σημεία τομής των
1
C
και
2
C
.
Για
x y
η (1) γίνεται:
2 2
2
2
4x x 20
5x 20 x 4 x 2
.
Άρα τα σημεία
M 2, 2
και
N 2,2
είναι τα σημεία τομής των
1
C
και
2
C
.
ΘΕΜΑ 2 - 22509