Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

109 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
108
β. Η εστία της παραβολής είναι το κέντρο του κύκλου δηλαδή Κ(1,0). Η
παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον x x και για την εστία της ξέρουμε ότι
έχει συντεταγμένες
p
,0
2
 
 
 
άρα για την παράμετρο p έχουμε:
p
1 p 2
2
   .
Επομένως η εξίσωση της παραβολής είναι 2 2
y 2px y 4x    .
γ. Για να βρούμε τα σημεία τομής 1 M και 2 M του κύκλου και της παραβολής,
λύνουμε το σύστημα:
    2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
x 2x 1 4x 25 x 1 y 25 x 1 4x 25
y 4x y 4x y 4x
x 6 ή x 4 x 2x 24 0
y 4x y 4x
               
  
  

     
 
       
 
 
 
     
Η τιμή x 6  απορρίπτεται γιατί πρέπει τα p και x να είναι ομόσημα. Άρα
x 4 και y 4  .
Επομένως τα σημεία τομής του κύκλου και της παραβολής είναι τα  
1 M 4,4
και  
2 M 4, 4 .
i. Η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο  
1 M 4,4 είναι
 
1
1
ε : 4y 2 x 4 y x 2
2
     και η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο
 
2 M 4, 4 είναι  
2
1
ε : 4y 2 x 4 y x 2
2
       .
ii. Για να βρούμε τα σημεία τομής των ευθείων λύνουμε το σύστημα:
1 1 1
y x 2 x 2 x 2 x 4
2 2 2
1 1 y 0
y x 2 y x 2
2 2
 
     
      
 
  

 
     
 
 
Άρα τέμνονται στο σημείο   Λ 4,0 που επαληθεύει τον κύκλο 1 C .