Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

106 / 130

105
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η εξίσωση:   4 2 y 16x 0 (1)
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο παραβολές  2
1 C : y 4x και
  2
2 C : y 4x και να βρείτε για καθεμιά από αυτές την εστία και τη
διευθετούσα της.
(Μονάδες 13)
β. Αν 1 Ε και 2 Ε είναι οι εστίες των παραβολών 1 C και 2 C αντίστοιχα, να βρείτε
την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα 1 2 Ε Ε .
(Μονάδες 12)
Απάντηση:
α. Έχουμε:
4 2 4 2 2 y 16x 0 y 16x y 4x       .
Άρα η (1) παριστάνει τις παραβολές :
2
1 C : y 4x και 2
2 C : y 4x  .
 Για τη 1 C είναι: p
2p 4 p 2 1
2
     , άρα η εστία είναι το  
1 E 1,0 και
η διευθετούσα η  1 δ : x 1  .
 Για τη 2 C είναι:
p
2p 4 p 2 1
2
        , άρα η εστία είναι το
 
2 E 1,0 και η διευθετούσα η  
2 δ : x 1 .
β. Ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα 1 2 E E έχει ως κέντρο το μέσο Κ του τμήματος.
Είναι K
1 1
x 0
2

  και K
0 0
y 0
2

  , άρα το κέντρο του κύκλου είναι η αρχή
Ο των αξόνων. Για την ακτίνα ρ του κύκλου αυτού έχουμε:
   1 2 ρ ΟΕ ΟΕ 1   , άρα ο κύκλος έχει εξίσωση: 2 2 x y 1   .
ΘΕΜΑ 2 - 22512