Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

102 / 130

101
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Άρα το Μ ανήκει σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ 5 .
β) i. Η απόσταση του Σ από το κέντρο Ο του κύκλου είναι:
  2 2
ΟΣ 7 1 50 5 2 5 ρ      , άρα το Σ είναι εξωτερικό του κύκλου.
ii. Έστω  
1 1 A x ,y σημείο του κύκλου. Τότε   2 2
1 1 x y 25 1   . Η εξίσωση της
εφαπτομένης του κύκλου στο Α είναι   1 1 ε : x x y y 25     .
Επειδή η  ε διέρχεται από το Σ ισχύει ότι: 1 1 1 1 7x y 25 y 25 7x     και
η (1) γίνεται:
 2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1
x 25 7x 25 50x 350x 600
x 7x 12 0 x 3 ή x 4
      
      
Αν 1 x 3 τότε 1 y 4 και η εφαπτομένη είναι η  1 ε : 3x 4y 25  με
συντελεστή διεύθυνσης 1
3
λ
4

 .
Αν 1 x 4 τότε 1 y 3   και η εφαπτομένη είναι η  
2 ε : 4x 3y 25  με
συντελεστή διεύθυνσης 2
4
λ
3
 .
Επειδή 1 2 λ λ 1   είναι 1 2 ε ε  .
Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία M(x,y) , A( 2,0) και B(2,0)
ώστε να ισχύει   
2 2
ΑΜ ΒΜ 3ΑΜ ΒΜ .
α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ο κύκλος
  2 2
C : x y 20 .
(Μονάδες 10)
β. Έστω Γ, Δ σημεία του κύκλου C ώστε
 

 
 
2
ΓΔ
5
4
.
i. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Γ, Δ και η αρχή των αξόνων Ο, είναι
συνευθειακά.
(Μονάδες 10)
ii. Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο  ΜΓ ΜΔ όταν το Μ κινείται στον
κύκλο.
(Μονάδες 5)
Απάντηση:
α. Είναι     ΑΜ x 2,y , BM x 2,y    . Έτσι :
2 2
AM BM 3AM BM   
ΘΕΜΑ 4 - 22589