Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

97 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
96
για τις τιμές λ 2 και λ 6 , δεν έχουμε κύκλο αλλά δύο σημεία. Άρα τα
κέντρα των κύκλων βρίσκονται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ της ευθείας
 ε χωρίς τα άκρα Α και Β.
Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τον κύκλο   2 2
1 C : x y 4 και μία
τυχούσα διάμετρό του AB με  
1 1 A x ,y και  
2 2 Β x ,y .
α. Να δικαιολογήσετε γιατί ισχύει  
2 1 x x και  
2 1 y y ;
(Μονάδες 5)
β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων N(κ,λ) για τα οποία
ισχύει   NA NB 5 είναι ο κύκλος   2 2
2 C : x y 9 .
(Μονάδες 12)
γ. Στο καρτεσιανό επίπεδο να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων M(x,y) για
τα οποία ισχύει:   2 2
4 x y 9 .
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α. Η εξίσωση   2 2
1 C : x y 4 παριστάνει κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων
Ο και ακτίνα ρ 2 . Αφού τα σημεία Α και Β είναι αντιδιαμετρικά θα είναι
συμμετρικά ως προς το κέντρο δηλαδή το Ο την αρχή των αξόνων, άρα θα
έχουν αντίθετες συντεταγμένες. Δηλαδή 2 1 2 1 x x και y y     .
β. Έχουμε    
1 1 2 2 NA x κ,y λ και ΝΒ x κ,y λ       οπότε:
     
1 2 1 2 ΝΑ ΝΒ 5 x κ x κ y λ y λ 5         
     
2 1
2 1
x x
1 1 1 1
y y
x κ x κ y λ y λ 5


         
2 2
1 1 x y 4
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 x κ y λ 5 4 κ λ 5 κ λ 9
 
            
     
1 1 1 1 x κ x κ y λ y λ 5        
Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Ν(κ,λ) είναι ο κύκλος 2 2
2 C : x y 9   .
γ. Τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία ισχύει   2 2
4 x y 9 είναι εκείνα τα σημεία
που απέχουν από την αρχή Ο αποστάσεις μεταξύ 4 και 9 δηλαδή είναι τα
σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω και έξω από τον μικρό κύκλο και
μέσα και πάνω στον μεγάλο κύκλο. Δηλαδή τα σημεία του κυκλικού
δακτυλίου των δύο κύκλων μαζί και με τα σημεία των κύκλων.
ΘΕΜΑ 4 - 22558