129 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
128
i.
παράλληλη στον x'x
ii.
παράλληλη στον y'y
iii.
περνάει από το Ο(0,0)
δ.
Αν
1 2
λ , λ
δύο τιμές του λ, ώστε
1 2
λ λ
1
, δείξτε ότι οι αντίστοιχες ευθείες
1 2
ε ,ε
που προκύπτουν από την (ε) για τις τιμές
1
2
λ , λ
τέμνονται κάθετα.
Απάντηση:
α.
Πρέπει
λ 2 0
ή
2λ 1 0
.Έτσι:
λ 2
λ 2 0
1
2λ 1 0 λ
2
αδύνατο, άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε
λ
.Αν
0 0
Γ x ,y
το κοινό σημείο όλων των ευθειών ,οι συντεταγμένες του Γ
θα πρέπει να επαληθεύουν για κάθε λ την εξίσωση οποτε θα πρέπει να είναι
αόριστη ως προς λ .Έτσι:
λ x 2y 1
2x y 2 0
οπότε πρέπει :
x 2y 1 0
x 1
2x y 2 0 y 0
. Άρα το σταθερό σημείο είναι το Γ(1,0).
β.
Διαδοχικά έχουμε :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2λ 4 4λ 2 2 λ
3λ 4
3
3
3
d A,ε
5
5
5
5λ 5
λ 2 2λ 1
3λ 4
3
9λ 24λ 16 9
5λ 5 5
5
5λ 5
7
9λ 24λ 16 9λ 9 λ
24
γ.
i.
Πρέπει
λ 2 0 λ 2
.
ii.
Πρέπει
1
2λ 1 0
λ
2
.
iii.
Πρέπει
2 λ 0
λ 2
.
δ.
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας για
1
λ
λ
θα είναι
1
1
1
λ 2
λ '
2λ
1
.
Αντίστοιχα για
2
2
2
2
λ
2
λ λ , λ '
2λ
1
.
Έτσι
1
2
1 2
1
2
1
2
1 2
1
2
1 2
1
2
1
2
λ 2 λ 2 λ λ 2λ 2λ 4 1 2λ 2λ 4
λ ' λ '
2λ 1 2λ 1 4λ λ 2λ 2λ 1 4 2λ 2λ 1
1
2
1
2
2λ 2λ 3
1
2λ 2λ 3
Άρα, οι δύο ευθείες είναι κάθετες.