118 / 130
117
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
α.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της υπερβολής που τέμνει τον άξονα x΄x στα
σημεία Α΄(
2,0) , Α(2,0) και διέρχεται από το σημείο
Γ 2 5,2
είναι η
2
2
1
x
C :
y 1
4
.
(Μονάδες 10)
β.
Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου
2
C
με διάμετρο το τμήμα Α΄Α.
(Μονάδες 5)
γ.
Να αποδείξετε ότι οι μοναδικές κοινές εφαπτόμενες της υπερβολής
1
C
και
του κύκλου
2
C
είναι οι ευθείες
1
ε : x 2
και
2
ε : x 2
.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α.
Τα σημεία Α και
A
είναι οι κορυφές της υπερβολής, άρα
α 2
.
Η υπερβολή έχει εξίσωση
2
2
1
2
x
y
C :
1
4
β
.
Επειδή διέρχεται από το σημείο Γ, ισχύει ότι:
2
2
2
2
2
2
2 5 2
20 4
4
1
1 4
β 1 β 1
4 β
5 β
β
,
οπότε
2
2
1
x y
C :
1
4 1
.
β.
Επειδή τα σημεία Α και
A
είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων
Ο, το κέντρο του κύκλου
2
C
είναι το Ο. Η ακτίνα του κύκλου είναι:
ρ ΟΑ ΟΑ 2
,
άρα
2
2
2
C : x
y
4
.
γ.
Οι ευθείες
1
ε : x
2
και
2
ε : x 2
είναι οι εφαπτόμενες του κύκλου στα Α
και
A
καθώς και της υπερβολής. Έστω ότι υπάρχει ευθεία ε με εξίσωση
y λx β
που εφάπτεται στις
1
C
και
2
C
.
Τότε τα συστήματα των ε,
1
C
και ε,
2
C
θα πρέπει να έχουν μοναδική λύση.
Από το σύστημα των ε,
1
C
έχουμε:
ΘΕΜΑ 4 - 22591