124 / 130
123
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ ενός κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ=1. Αν
α ΟΑ
,
β ΟΒ
και
γ ΟΓ
και
α β γ 0
, να αποδείξετε ότι:
α.
1
συν α,β συν β,γ συν γ,α
2
.
β.
β γ
α
α γ
2
.
γ.
Τα σημεία Α,Β,Γ Α είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου με πλευρά
3
.
Απάντηση:
α.
Αφού τα Α,Β,Γ σημεία του μοναδιαίου
κύκλου (ΟΑ),(ΟΒ),(ΟΓ) ακτίνες δηλαδή
ισχύει και
α β
γ 1
οπότε από την
σχέση
α β γ 0
έχουμε :
2
2
2
2
2
2
2
2
α β γ α β
γ
α 2αβ β γ
α 2 α β συν α , β β γ
1
1 2 1 1συν α , β 1 1 συν α , β
2
Ομοίως και για τα
1
συν β , α συν γ , α
2
β.
Είναι :
β γ
α
α γ α β γ 2α γ α β α γ 2α γ
2
1
1
α β α γ α β συν α , β
α γ συν α , γ 1 1
1 1
2
2
που ισχύει.
γ.
α τρόπος:
Από το
(α)
1
συν α , β συν β , γ συν γ , α
2
δηλαδή
ο
α , β α , γ γ , β 120
επομένως και
ο
ΑΟΒ ΑΟΓ
ΓΟΒ 120
με Α,Β,Γ
ΘΕΜΑ 4
Γ
Ο
Β
Α