Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

125 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
124
σημεία του ίδιου κύκλου. Άρα ορίζουν ισόπλευρο τρίγωνο το ΑΒΓ με πλευρές
ΑΒ ΑΓ ΒΓ R 3 1 3 3      (Ευκλείδεια Γεωμετρία).
β τρόπος: Αρκεί να υπολογίσουμε τα μήκη ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ του τριγώνου και να
δείξουμε ότι είναι ίσα.
Είναι ΑΒ ΑΒ ΟΒ ΟΑ β α     και
 2 2 2 2 1
α β α β α 2αβ β 1 2 1 1 1 3
2
 
              
 
επομένως
ΑΒ ΑΒ 3 
Ομοίως και για τα ΑΓ και ΒΓ.
Δίνεται η εξίσωση 2 2
x y 8x 16 0     .
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο ευθείες (η) και (θ).
β. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (η) και (θ) είναι κάθετες.
γ. Να βρείτε σημείο Κ(α,β) , α>0 και β>0 , τέτοιο ώστε το διάνυσμα  
1 δ 4,α 
να είναι παράλληλο προς μία από τις δύο ευθείες (η) και (θ) και το διάνυσμα
 
2 δ 8,2β  να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία.
δ. Να βρείτε την εξίσωση κύκλου που διέρχεται από το σημείο Κ και το κέντρο
του βρίσκεται στην αρχή των αξόνων Ο(0,0).
Απάντηση:
α. Έχουμε  2
2 2 2 x y 8x 16 0 x 4 y 0        
   x 4 y x 4 y 0 x y 4 0          ή x y 4 0   
Άρα παριστάνει δύο ευθείες τις  η : x y 4 0   και  θ : x y 4 0  
β. Είναι η λ 1 αφού x y 4 0 y x 4      
και θ λ 1  αφού x y 4 0 y x 4       
Έτσι  
η θ λ λ 1 1 1    άρα η θ
γ. Πρέπει 1 δ / /η αφού
1 δ
α
λ 0
4
 α 0 και η λ 1 0  έτσι
1 η δ
α
λ λ 1 α 4
4
    
ΘΕΜΑ 5