Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

115 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
114
Θεωρούμε την έλλειψη με εστίες τα σημεία  
 E΄ 5,0 ,  
E 5,0 και μεγάλο
άξονα μήκους 6 μονάδων.
α. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης.
(Μονάδες 10)
β. Αν είναι σημείο της έλλειψης για το οποίο ισχύει   ΜΕ΄ 2 ΜΕ , τότε:
i. να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων και ME΄ και ME.
(Μονάδες 9)
ii. να αποδείξετε ότι η γωνία Ε΄ΜΕ είναι ορθή.
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
α. Η έλλειψη έχει γ 5  και 2α 6 α 3    .
Είναι 2 2 2 β α γ 9 5 4 β 2       και η έλλειψη έχει εξίσωση
2 2 x y
C : 1
9 4
  .
β. i. Από τον ορισμό της έλλειψης ισχύει ότι:
        ME ME 2α ME ME 6        , όμως     ΜΕ 2 ΜΕ 
άρα         2 ΜΕ ΜΕ 6 3 ΜΕ 6 ΜΕ 2       και   ΜΕ 4  .
ii. Θα εξετάσουμε αν επαληθεύεται το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο
Ε΄ΜΕ.
Είναι:        2
2 2 2
ΜΕ ΜΕ ΕΕ 16 4 2 5 20 20         , ισχύει άρα
ο Ε ΜΕ 90  .
Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία M(x,y) για τα οποία ισχύει η
ισότητα  
   
16
ΑΜ ΒΜ ΟΑ ΟΒ 0
9
, όπου A(3,0) και B(3,0).
α. Να αποδείξετε ότι τα σημεία M ανήκουν στον κύκλο   2 2
1 C : x y 25 .
(Μονάδες 11)
β. Αν Γ και Δ είναι τα σημεία τομής του κύκλου 1 C με τον άξονα x΄x, τότε:
i. να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης 2 C η οποία έχει μεγάλο άξονα το
ΘΕΜΑ 2 - 22516
ΘΕΜΑ 4 - 22592