110 / 130
109
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε κύκλο C που διέρχεται από τα σημεία
A(0,2) , B(
2,4) και Γ(0,6).
α.
Να αποδείξετε ότι
2
2
C: x
(y 4) 4
(Μονάδες 10)
β.
Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε
εκείνες που εφάπτονται του κύκλου C.
(Μονάδες 9)
γ.
Αν
1
M
και
2
M
είναι τα σημεία επαφής του κύκλου C με τις εφαπτόμενες του
ερωτήματος β), να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την
αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία
1
M
και
2
M
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
α.
Έστω
0 0
K x ,y
το κέντρο του κύκλου και ρ η ακτίνα του. Τότε η εξίσωση του
κύκλου θα είναι
2
2
2
0
0
x x
y y
ρ
.
Επειδή διέρχεται από τα σημεία
Α,Β και Γ, ισχύει:
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
1 3
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0 x
2 y ρ
x y 4y 4 ρ
2 x
4 y ρ x 4x 4 y 8y 16 ρ
x y 12y 36 ρ
0 x
6 y ρ
8y 32
y 4
x 4x y 8y 20 ρ x 4x 16 32 20 ρ
x y 12y 36 ρ
x 16 48
2
0
0
2
2
0
0
0
0
2
2
0
36 ρ
y 4
y 4
x 4x 16 32 20 x 16 48 36 x 0
ρ 2
x 4 ρ
Άρα ο κύκλος είναι ο
2
2
C: x
y 4
4
.
β.
Οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων είναι ο άξονας
y y
με
εξίσωση
x 0
, που δεν είναι λύση του προβλήματος και οι εξισώσεις της
μορφής
ε: y λx λx y 0
. Για να εφάπτονται στον κύκλο θα πρέπει η
απόσταση του κέντρου από τις ευθείες να είναι ίση με την ακτίνα:
ΘΕΜΑ 4 - 22560