108 / 130
107
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Για την ακτίνα ρ του κύκλου αυτού έχουμε:
1
2
ρ
ΟΕ ΟΕ 2
, άρα ο
κύκλος έχει εξίσωση:
2 2
x y 4
.
Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε κύκλο
1
C
ο οποίος έχει το κέντρο του
στην ευθεία
ε: x y 1 0
. Έστω επίσης A(5,3) και B(1,5) δύο σημεία του
κύκλου
1
C
.
α.
Να αποδείξετε ότι
2
2
1
C : (x 1)
y
25
(Μονάδες 9)
β.
Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής
2
C
που έχει κορυφή την αρχή των
αξόνων και εστία το κέντρο του κύκλου
1
C
.
(Μονάδες 7)
γ.
Αν
1
M
και
2
M
είναι τα σημεία τομής των
1
C
και
2
C
, τότε:
i.
να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων
1
ε
και
2
ε
της παραβολής
2
C
στα σημεία αυτά.
(Μονάδες 5)
ii.
να αποδείξετε ότι οι
1
ε
και
2
ε
τέμνονται σε σημείο που ανήκει στον
κύκλο
1
C
(Μονάδες 4)
Απάντηση:
α.
Έστω
0 0
K x ,y
το κέντρο του κύκλου και ρ η ακτίνα του. Ισχύει:
0 0
0
0
x y 1 0 x
y 1
και
ρ KA KB
. Άρα:
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
KA KB x 5 y 3
x 1 y 5
y 1 5 y 3
y 1 1 y 5
y 4 y 3 y y 5
y 4 y 3 y
y 5
y 8y 16 y 6y 9 y y 10y 25
4y 0 y 0.
Άρα
0
x 1
. Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο Κ(1,0). Για την ακτίνα
έχουμε :
2
2
2
2
0
0
ρ ΚΒ x
5
y 3
1 5
3 5
.
Άρα ο κύκλος
2 2
1
C : x 1
y 25
.
ΘΕΜΑ 4 - 22559