Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

112 / 130

111
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α. i. Είναι     MA x 2,y 2 , MB x y 4      και
        
x 2 y 2
det MA,MB x 2 y 4 x y 2 2 x y 4
x y 4
 
        

.
    1 1
MAB det MA,MB 2 x y 4 x y 4
2 2
      
Όμως το σημείο Μ ανήκει στην παραβολή
2
2 y
y 4x x
4
   , οπότε το
εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γίνεται:
 
2 2
2 y y 4y 16 1
MAB y 4 y 4y 16
4 4 4
 
      
Το τριώνυμο 2
y 4y 16  έχει διακρίνουσα Δ 16 64 48 0     , άρα
2
y 4y 16 0   για κάθε y  , οπότε το εμβαδόν γίνεται:
    2 1
MAB y 4y 16
4
   .
ii. Είναι:     2 1
MAB 3 y 4y 16 3
4
     
 2
2 2 y 4y 16 12 y 4y 4 0 y 2 0            που ισχύει.
β. Η ελάχιστη τιμή του εμβαδού είναι 3 και αυτή συμβαίνει όταν
    2 2 2 1
ΜΑΒ 3 y 4y 16 3 y 4y 16 12 y 4y 4 0
4
            
 2
y 2 0 y 2      
Τότε
 2
2
x 1
4

  , άρα   M 1,2 .
γ. Η εφαπτομένη της παραβολής στο Μ είναι η ευθεία
      ε : y 2 2 x 1 y x 1        και έχει συντελεστή διεύθυνσης ε λ 1  .
Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης ΑΒ
4 2
λ 1
0 2
 
  

.
Επειδή ε ΑΒ λ λ 1   οι ευθείες είναι παράλληλες.