117 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
116
Μια έλλειψη
1
C
έχει εκκεντρότητα ίση με
4
5
και τις ίδιες εστίες με την
υπερβολή
2
2
2
x y
C :
1
4 12
α.
Να αποδείξετε ότι
2
2
1
x
y
C :
1
25
9
(Μονάδες 15)
β.
Να παραστήσετε γραφικά την έλλειψη
1
C
και την υπερβολή
2
C
σε
καρτεσιανό επίπεδο Oxy.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α.
Για την υπερβολή
2
C
ισχύει ότι
2
α 4 α 2
,
2
2
2
2
β 12 γ α
12 γ
16 γ 4
. Οι εστίες της υπερβολής καθώς και
της έλλειψης είναι τα σημεία
Ε 4,0
και
Ε 4,0
. Είναι:
4 4
4
ε
α 5
5 α
5
και
2
2 2
β α γ 25 16 9
και επομένως η έλλειψη είναι η
2
2
1
x y
C :
1
25 9
β
. Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήμα :
ΘΕΜΑ 2 - 22515