114 / 130
113
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Επειδή οι συντεταγμένες των Κ,Λ,Μ,Ν επαληθεύουν την εξίσωση
2 2
x
y 8
,
τα σημεία αυτά ανήκουν στον κύκλο
2
2
C: x
y
8
.
Δίνονται ο κύκλος
2 2
1
C : x
y 20
, η έλλειψη
2
2
2
x y
C :
1
20 5
και η κατακόρυφη
ευθεία
ε: x 4
. Αν Γ και Δ είναι τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου στα
οποία η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο
1
C
και την έλλειψη
2
C
αντίστοιχα, τότε:
α.
να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ και Δ.
(Μονάδες 11)
β.
να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου
1
C
στο σημείο του Γ
και της έλλειψης
2
C
στο σημείο της Δ, καθώς και το σημείο τομής των
εφαπτομένων αυτών. (Μονάδες 14)
Απάντηση:
α.
Για τις συντεταγμένες του σημείου Γ λύνουμε το σύστημα:
2 2
2 2
y 2
x y 20 4 y 20
x 4
x 4
x 4
Επειδή το Γ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο θα είναι
Γ 4,2
.
Για τις συντεταγμένες του σημείου Δ λύνουμε το σύστημα:
2
2
2
2
x y
4 y
y 1
1
1
20 5
20 5
x 4
x 4
x 4
Επειδή το Δ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο θα είναι
Δ 4,1
.
β.
Η εφαπτομένη του κύκλου
1
C
στο Γ είναι η
1
ε : x 4 y 2 20 2x y 10
και η εφαπτομένη της έλλειψης
2
C
στο Δ είναι η
2
x 4
y 1
ε :
1
x y 5
20 5
.
Για το σημείο τομής των εφαπτομένων
1
ε
και
2
ε
έχουμε το σύστημα:
2x y 10 2x 5 x 10
x 5
x y 5
y 5 x
y 0
Επομένως το σημείο τομής των εφαπτομένων
1
ε
και
2
ε
είναι το (5,0).
ΘΕΜΑ 2 - 22510