93 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
92
2
2
2
2
2
2
2
x 4 y 8 5 x 4 2x 8 5
y 2x
y 2x
x 4 4 x 4
5
y 2x
x 5 ή x 3
x 4 1
y 10 ή y 6
y 2x
Το σημείο με την μικρότερη απόσταση είναι το Λ(3,6) και αυτό με την
μεγαλύτερη απόσταση είναι το Μ(5,10).
Σε καρτεσιανό επίπεδο Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(x,y), B(3,2) και Γ(1,0). Αν τα
σημεία αυτά σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα τη ΒΓ, τότε:
α.
Να αποδείξετε ότι το Α κινείται στον κύκλο
2
2
C: (x 2)
(y 1)
2
.
(Μονάδες 13)
β.
Να βρείτε τις συντεταγμένες του Α, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι και
ισοσκελές.
(Μονάδες 12)
Απάντηση:
α.
Επειδή η γωνία Α είναι ορθή, το κέντρο του περιγγεγραμμένου κύκλου του
τριγώνου ΑΒΓ είναι το μέσο Κ της ΒΓ. Άρα:
B Γ
B Γ
K
K
x x
y y
x
2 και y
1
2
2
δηλαδή Κ(2,1). Η ακτίνα του κύκλου αυτού είναι:
2
2
R
ΚΑ
ΚΒ
ΚΓ
2 1 1 0 2
.
Η εξίσωση του κύκλου είναι
2
2
C: x 2
y 1
2
.
Αν το Α είναι οποιοδήποτε σημείο του κύκλου αυτού (εκτός από τα Β και Γ), η
γωνία
ΒΑΓ
θα είναι ορθή ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, άρα το Α κινείται
στο κύκλο
.
β.
Επειδή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, για να είναι και ισοσκελές θα πρέπει:
ΘΕΜΑ 2 – 22533