91 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
90
Δίνεται η εξίσωση:
2
2
x
y 10y 16 0
(1)
α.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο
K(0,
5) και ακτίνα
ρ 3
.
(Μονάδες 12)
β.
Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε
εκείνες που εφάπτονται του παραπάνω κύκλου.
(Μονάδες 13)
Απάντηση:
α.
Έχουμε:
2 2
2 2
2
2
2
2
2
x y 10y 16 0 x y
10y 25 25 16
x y 5 9
x y 5 3
Άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(0,-5) και ακτίνα
ρ 3
.
β.
Οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων είναι ευθείες της
μορφής:
ε : y λx λx y 0
ο άξονας
y y
,που δεν είναι λύση του
προβλήματος, αφού για x=0 στην εξίσωση του κύκλου έχουμε:
2
2
2
0 y 5 3 y 2 ή y 8
άρα τέμνει τον άξονα σε δύο
σημεία.
Για να εφάπτονται στον κύκλο ευθείες
ε : λx y 0
θα πρέπει η
απόσταση του κέντρου από τις ευθείες να είναι ίση με την ακτίνα, δηλαδή:
2
2
2
2
λ 0 5
5
25
d K,ε ρ
3
λ
1
λ 1
3
9
λ 1
16
4
λ
λ
9
3
Άρα οι ευθείες είναι οι:
4
y
x
3
.
ΘΕΜΑ 2 –
_
22507