Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

98 / 130

97
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η εξίσωση      2 2 x y 2x 4y 1 4 . Να αποδείξετε ότι:
α. Η εξίσωση παριστάνει κύκλο C του οποίου να βρείτε το κέντρο και την
ακτίνα.
(Μονάδες 8)
β. Ο κύκλος C εφάπτεται στον άξονα x΄x και να προσδιορίσετε το σημείο
επαφής τους.
(Μονάδες 7)
γ. Το σημείο M(2,1) βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου. Να βρείτε την
εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον κύκλο σε δυο σημεία Α, Β ώστε η χορδή
AB του κύκλου να έχει μέσο το Μ.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α. Διαδοχικά έχουμε:
   
2 2 2 2
2 2
x y 2x 4y 1 4 x 2x 1 y 4y 4 4
x 1 y 2 4
            
    
Οπότε η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο   K 1, 2 και ακτίνα ρ 2 .
β. Είναι   K d Κ,x x y 2 ρ    , οπότε ο κύκλος εφάπτεται στον x x στο σημείο
  Γ 1,0 .
γ. Επειδή το Μ είναι το μέσο της χορδής ΑΒ, το ΚΜ είναι το απόστημα της
χορδής και επομένως ΚΜ ΑΒ .
Είναι ΚΜ
1 2
λ 1
2 1
 
 

, και ΑΒ ΚΜ ΑΒ λ λ 1 λ 1       .
Άρα η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση   y 1 x 2 y x 1         .
Δίνονται οι εξισώσεις
     (x y 1)(x y 1) 2xy (1) και       (λ 1)x (2λ 3)y 2λ 5 0 (2) , λ 
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C με κέντρο την αρχή των
αξόνων και ακτίνα  ρ 1 .
(Μονάδες 8)
β. Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ  η εξίσωση (2) παριστάνει ευθεία. Κατόπιν
να αποδείξετε ότι οι ευθείες που προκύπτουν από την (2) για τις διάφορες
τιμές του λ διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
γ. Έστω Α και Β τα σημεία τομής του κύκλου C με τους θετικούς ημιάξονες Ox
και Oy αντίστοιχα. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ, ώστε η ευθεία ΑΒ να
προκύπτει από την εξίσωση (2).
(Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ 4 – 22581
ΘΕΜΑ 4 - 22584