101 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
100
Άρα:
2
2
4 4λ
Μ ,
1 λ 1 λ
Είναι:
2
M
2
M
4
4
x
1 λ
1 λ
x
Οπότε:
M
M
2
M
M
y
4λ 4λ
y
λ
4
1 λ
x
x
Τότε η (1) γίνεται:
2
2
2
2
M
M
M M M
2
M
M
M M
2
2
M
M
y
y
4
4
1
1
x 4x y 0
x
x
x x
x 2 y 4
Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν τη σχέση
2
2
x 2
y
4
, το Μ
κινείται σε κύκλο ακτίνας 2 και επειδή επαληθεύεται από τις συντεταγμένες
του Ο, διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Σε καρτεσιανό σύστημα Οxy , θεωρούμε τα σημεία Μ(x,y) , A(
25,0) και B(
1,0)
για τα οποία ισχύει
ΑΜ 5 ΒΜ
.
α.
Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο
2
2
C : x
y
25
.
(Μονάδες 10)
β.
Θεωρούμε το σημείο
Σ 7,1
.
i.
Να εξετάσετε αν το σημείο Σ βρίσκεται στο εσωτερικό ή το εξωτερικό του
κύκλου C.
(Μονάδες 5)
ii.
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες, από το σημείο Σ προς τον κύκλο,
είναι μεταξύ τους κάθετες.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α.
Έχουμε :
2
2
2
2
ΑΜ 5 ΒΜ x 25
y 0
5 x 1 y 0
2
2
2
2
2
2
x 50x 625 y 25 x 2x 1 y 24x 24y 600
2 2
x y 25
.
ΘΕΜΑ 4 - 22587