Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

81 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
80
Δίνονται οι ευθείες   ε: 2κx 1 κ y 1 3κ 0     και
    ζ : 1 3κ x κ 1 y 2 6κ 0      , όπου κ .
α. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.
(Μονάδες 10)
β. Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες (ε) και (ζ).
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α. Θεωρούμε διανύσματα α / /(ε) και β / /(ζ) οπότε    
α Β, Α 1 κ, 2κ      
και           β Β, Α κ 1, 1 3κ .
Έστω ότι υπάρχει κάποια τιμή του κ , η 0 κ ώστε οι ευθείες να είναι
παράλληλες, τότε:
  
     
  
       
0 0
0 0
0 0 0 0
1 κ 2κ
(ε) / /(ζ) α / /β det(α, β) 0 0
κ 1 1 3κ
(1 κ ) (1 3κ ) 2κ (κ 1) 0
       2 2
0 0 0 0 0 1 3κ κ 3κ 2κ 2κ 0
   2
0 0 5κ 2κ 1 0 , η οποία είναι αδύνατη αφού έχει διακρίνουσα
   Δ 16 0 , άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει τιμή του κ ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.
β. Η αμβλεία γωνία θ των ευθειών (ε) και (ζ) είναι ίση ή παραπληρωματική της
γωνίας φ των διανυσμάτων α και β .
Όμως είναι :
      2 2 2 2
α β ( 1 κ) (κ 1) 2κ ( 1 3κ)
συνφ
α β 1 κ 4κ κ 1 1 3κ
        
  
      
2 2
2 2 2 2
κ 1 2κ 6κ
κ 2κ 1 4κ κ 2κ 1 9κ 6κ 1
   
 
        
ΘΕΜΑ 4 - 18621