Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

79 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
78
Δίνονται οι ευθείες  
   
1 ε : 2λ 1 x y 5 0 ,  
    2
2 ε : λ 3 x y 15 0 με λ 
και το σημείο Α(2,1).
α. Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ  οι ευθείες τέμνονται.
(Μονάδες 7)
β. Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του λ  .
(Μονάδες 10)
γ. Έστω  λ 2 και Β, Γ τα σημεία που οι 1 ε και 2 ε τέμνουν τον άξονα y΄y. Να
βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α. Για να τέμνονται οι ευθείες αρκεί να δείξουμε ότι το σύστημά τους
 
    
  



2 Σ :
(λ
2λ 1 x y 5
3 x y 15)
έχει λύση για κάθε λ  , δηλαδή αρκεί να δείξουμε
ότι για την ορίζουσα του συστήματος D , ισχύει  D 0 .
Είναι:
 
2λ 1 1 2
D (2λ 1) (λ 3)
2λ 3 1
2 2 2
λ 2λ 2 (λ 2λ 2) (λ 2λ 1 1)
2 λ 1 1 0

      
 
             
    
Επομένως  D 0 .
β. Το Α είναι το σημείο τομής των ευθειών 1 ε , 2 ε αν και μόνο αν οι
συντεταγμένες του επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις των 1 ε , 2 ε .
  ε (2λ 1)2 1 5 0 4λ 8 λ 2 Α          
1
ΘΕΜΑ 4 - 18620