Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

85 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
84
Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Μ(x,y), Α( 1,3) και
Β(2,1) ώστε να σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν  (ΜΑΒ) 4 .
α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι δυο ευθείες 1 ε , 2 ε
παράλληλες μεταξύ τους.
(Μονάδες 8)
β. Να βρείτε την απόσταση των 1 ε , 2 ε .
(Μονάδες 5)
γ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα Α, Β είναι η
μεσοπαράλληλη των 1 ε , 2 ε . Πως αιτιολογείται γεωμετρικά το συμπέρασμα
αυτό;
(Μονάδες 12)
Απάντηση:
α. Είναι       ΑΒ 2 1, 1 3 3, 4 , ΑΜ x 1,y 3         
και      
3 4
det ΑΒ,ΑΜ 3 y 3 4 x 1 4x 3y 5
x 1 y 3

       
 
.
Οπότε:
    1 1
MAB 4 det ΑΒ,ΑΜ 4 4x 3y 5 4
2 2
4x 3y 5 8 ή 4x 3y - 5 -8
4x 3y 13 0 ή 4x 3y 3 0
      
     
      
Επομένως ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι οι ευθείες  1 ε : 4x 3y 13 0  
και  2 ε : 4x 3y 3 0   που είναι μεταξύ τους παράλληλες αφού έχουν τον
ίδιο συντελεστή διεύθυνσης
4
λ
3
  .
β. Για x 0 η  2 ε γίνεται: 3y 3 0 y 1      . Το σημείο Γ(0,-1) είναι
σημείο της  2 ε . Άρα:
   
 
2 1 1 2 2
4 0 3 1 13 16
d ε ,ε d Γ,ε
5
4 3
    
  

γ. Έστω   Δ x,y σημείο της μεσοπαράλληλης των  
2 ε ,  
1 ε . Τότε:
ΘΕΜΑ 4 - 22568