Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

84 / 130

83
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.    
B A B A ΑΒ x x ,y y 2,3    και
   
Γ A Γ A ΑΓ x x ,y y 2μ 2,3μ 6     
Έστω ότι τα Α, Β, Γ συνευθειακά σημεία τότε AB||ΑΓ ,
δηλαδή  
det ΑΒ,AΓ 0  .
Όμως      
2 3
det ΑΒ,AΓ 2 3μ 6 3 2μ 2 6μ 12 6μ 6 6
2μ 2 3μ 6
          
 
Άρα  
det ΑΒ,AΓ 0 , οπότε τα Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά σημεία.
β. i. Ισχύει:     1
ΑΒΓ det ΑΒ,ΑΓ
2
 , όμως από το (α) ερώτημα έχουμε:
 
det AB,AΓ 6  , άρα    
1
ΑΒΓ 6 3 τ.μ.
2
  
ii. Έστω Γ(x,y) άρα ισχύει:
 
 
x 2μ 1 1 και
y 3μ 2 2
 
 
Η σχέση (1) γίνεται:
x 1
2μ x 1 μ
2

    , αντικαθιστώντας το μ στην (2)
προκύπτει:
x 1
y 3 2 2y 3x 3 4 3x 2y 7 0
2

         
Άρα για κάθε τιμή του μ το Γ ανήκει στην ευθεία  ε : 3x 2y 7 0   .
γ. ε ΑΒ
3 3
λ και λ
2 2
  , άρα ΑΒ||ε .
Επειδή το Γ κινείται σε ευθεία παράλληλη προς την πλευρά ΑΒ, το ύψος του
τριγώνου ΑΒΓ από τη κορυφή Γ παραμένει σταθερό.
Το μήκος της βάσης ΑΒ είναι κι αυτό ανεξάρτητο του μ, άρα το εμβαδό του
τριγώνου ΑΒΓ είναι σταθερό.