76 / 130
75
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία
ε : y x
με
1 1
A x ,y
,
2
2
B x ,y
και
1 2
x
x
. Αν το σημείο Μ(3,5) είναι το μέσο
του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων
Α και Β ισούται με 5, τότε:
α.
να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.
(Μονάδες 13)
β.
να αποδείξετε ότι
(ΟΑΒ)
4
, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 5)
γ.
να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ(x,y) για τα οποία ισχύει
(ΚΑΒ)
2(ΟΑΒ)
ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις:
x y 2 0
και
x y 6 0
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
α.
Εφόσον το Μ είναι το μέσο του ΑΒ ισχύει ότι :
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
+ x
+ x
=
3 =
+ x = 6
2
2
y + y
y + y
y + y =10
y =
5 =
2
2
Μ
Μ
x
x
x
x
Επίσης ισχύει
1
2
x = 5
x
,άρα οι τετμημένες των Α και Β είναι οι ρίζες της
εξίσωσης
2
- 6x +5 = 0
x
και επειδή
1
2
1
2
< x έχουμε ότι x =1 και x = 5.
x
Ακόμα έχουμε ότι ΑΒ// ε με :
(ε)
2 1
2
1
ΑΒ ε
2 1
2 1
y - y
y - y
y = x λ = λ =1
=1
=1 y - y = 4.
- x
5 -1
x
Λύνουμε το σύστημα :
2 1
2
2
1
2
y - y = 4
2y =14
y = 7 και
y + y =10
1
1
y =10 - 7 y = 3
.
Άρα τα σημεία είναι τα Α(1,3 ) και Β(5,7).
ΘΕΜΑ 4 - 18615