73 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
72
β
2
1
KAB MAB KAB 15 det AK, BK =15
2
1
2x 4y 20 =15 2x 4y 20 30
2
2x 4y 20 30 ή 2x 4y 20 30
2x 4y 50 0 ή
2x 4y 10 0
x 2y 25 0 ή x 2y 5 0.
Άρα, τα σημεία
K x, y
για τα οποία ισχύει:
KAB
MAB ,
ανήκουν στις
ευθείες:
1
ε : x 2y 5 0
Δίνεται η εξίσωση
2 2
2
x
y 2xy 3λx 3λy 2λ
0
, με λ διαφορετικό του 0.
α.
Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο
ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση 1.
(Μονάδες 12)
β.
Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω
στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με 2, να βρείτε την τιμή του λ.
(Μονάδες 13)
Απάντηση:
α.
Θεωρούμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης τριώνυμο με μεταβλητή το x και η
διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:
2
2
2
2
2
2
2
2 2
Δ β 4αγ
2y 3λ 4 1 y
3λy 2λ
4y 12λy 9λ 4y 12λy 8λ λ 0, αφού λ 0
Άρα η εξίσωση έχει δύο πραγματικές, άνισες ρίζες:
1
1
1,2
2
2
2y 4λ
x
x y 2λ
2y 3λ λ
β Δ
2
x
.
2y 2λ x y λ
2α
2
x
2
Συνεπώς η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες με εξισώσεις
1
ε : y x 2λ
και
2
ε : y x λ
οι οποίες είναι παράλληλες με συντελεστή διεύθυνσης
λ 1
.
ΘΕΜΑ 4 - 18613