Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

66 / 130

65
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
β. Έστω   Γ 1,12 . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α. Έστω   Γ x,y , τότε   y x 1 και άρα  
 Γ x,x 1 .
Είναι              2 2 2
ΑΓ x 2 x 1 0 2x 2x 5.
Είναι               2 2 2
ΒΓ x 6 x 1 3 2x 4x 52.
Είναι              2 2
ΑΒ 6 2 3 0 25 5. .
Αφού το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη ΒΓ θα ισχύει το
Πυθαγόρειο Θεώρημα οπότε:
             
   
2 2 2 2 2 ΒΓ ΑΓ ΑΒ 2x 4x 52 2x 2x 5 25
2x 22 x 11.
Τότε   Γ 11,12 .
β. Είναι        
         ΑΒ 6 2, 3 4, 3 , AΓ 1 2,12 1,12
και   
   

4 3
det ΑΒ,ΑΓ 48 3 45.
1 12
Οπότε    
 
1 45
ΑΒΓ det ΑΒ,ΑΓ .
2 2
Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε την ευθεία    ε : y x κ 1 ,
όπου κ θετικός ακέραιος μεγαλύτερος της μονάδας.
α. Να βρείτε με τη βοήθεια του κ, τα σημεία τομής Α, Β της ευθείας με τους
άξονες   x x, y y και το εμβαδόν του τριγώνου OAB.
(Μονάδες 13)
β. Αν ισχύει  (ΟΑΒ) 2 να αποδείξετε ότι  κ 2 .
(Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 - 22523