64 / 130
63
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι:
ΑΒ
β 0 β
λ
.
0 α α
Άρα η εξίσωση της ευθείας είναι
β
β
y β
x 0
y
x β.
α
α
β. i.
Αφού η
ε
είναι κάθετη στην ΑΒ ισχύει ότι
ΑΒ ε
ε
α
λ λ
1
λ
β
και έχει
εξίσωση:
2
2
α
α β α
y b x α y x
.
β
β
β
ii.
Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ που τέμνει η
ε
τον
άξονα
x x
, βάζουμε όπου y το 0 και έχουμε:
2
2
2
2
2 2
α β α
α
β
α
α β
0 x
x
x
.
β β
β
β
α
Άρα
2
2
α β
Κ
,0
α
.
Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Λ που τέμνει η
ε
τον άξονα
y y
, βάζουμε όπου x το 0 και έχουμε:
2
2
β α
Λ 0,
β
.
Για το εμβαδόν του τριγώνου (ΟΚΛ) που είναι ορθογώνιο στο Ο έχουμε:
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
β α
1
1 β α α β 1
ΟΚΛ ΟΚ ΟΛ
2
2 β
α 2 αβ
β α 1
, αφού α β 0
2 αβ
Θεωρούμε τα σημεία
Α λ 1,2λ , Β 2 λ,4 και Γ
1,2 , λ
α.
Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ, τα σημεία
σχηματίζουν τρίγωνο.
(Μονάδες 10)
β.
Έστω ότι για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ ισχύει
(ΑΒΓ)
3
.
i.
Να αποδείξετε ότι
λ 1
ή
λ 2
.
(Μονάδες 10)
ii.
Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων
ΓΑ
,
ΓΒ
όταν
λ 1
.
(Μονάδες 5)
ΘΕΜΑ 2 - 22521