Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

65 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
64
Απάντηση:
α. Είναι             ΑΒ 2 λ λ 1,4 2λ 1 2λ,4 2λ και
   
         ΑΓ 1 λ 1,2 2λ 2 λ,2 2λ .
Οπότε    
    
  
2 1 2λ 4 2λ
det ΑΒ,ΑΓ 2λ 6λ 10 0
2 λ 2 2λ
αφού    Δ 44 0 , άρα τα ΑΒ και ΑΓ δεν είναι παράλληλα, οπότε τα
σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά και σχηματίζουν τρίγωνο.
β. i.    
   2 1 1
ΑΒΓ det ΑΒ,ΑΓ 2λ 6λ 10 .
2 2
Επειδή το παραπάνω τριώνυμο
δεν έχει ρίζες, θα διατηρεί πρόσημο, ομόσημο του α και επομένως
    2 2λ 6λ 10 0 για κάθε λ .
Άρα    
     2 2 1
ΑΒΓ 2λ 6λ 10 λ 3λ 5.
2
             2 2 ΑΒΓ 3 λ 3λ 5 3 λ 3λ 2 0 λ 1 ή λ 2.
ii. Για  λ 1 είναι    
     ΑΓ 3,0 ΓΑ 0, 3 και επειδή
        Β 1,4 , Γ 1,2 είναι ΓΒ 2,2 .
     
   
    2 2 2 2
ΓΑ ΓΒ 3 2 0 2 6 2
συν ΓΑ,ΓΒ
2 3 8 ΓΑ ΓΒ 3 0 2 2
Άρα    ο
ΓΑ,ΓΒ 45 .
Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy θεωρούμε την ευθεία   ε : y x 1 και τα
σημεία    
 Α 2,0 και Β 6, 3 .
α. Να προσδιορίσετε σημείο Γ της ευθείας ε ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι
ορθογώνιο με υποτείνουσα τη ΒΓ.
(Μονάδες 15)
ΘΕΜΑ 2 - 22522