Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

58 / 130

57
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η εξίσωση       2 2
x y 2(xy 2x 2y) 3 0 .
α. Να αποδείξετε ότι παριστάνει δυο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους.
Έστω  
1 ε : x y 1 και  
2 ε : x y 3 οι δυο ευθείες.
(Μονάδες 8)
β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που σχηματίζεται από τους
άξονες και τις ευθείες.
(Μονάδες 7)
γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή Ο και τέμνει
τις 1 ε και 2 ε στα σημεία Α, Β ώστε  (ΑΒ) 2 .
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α. Διαδοχικά έχουμε :
  2 2 2 2
x y 2 xy 2x 2y 3 0 x y 2xy 4x 4y 3 0             
    2
x y 4 x y 3 0.      
Θέτοντας   ω x y , η τελευταία εξίσωση γίνεται    2
ω 4ω 3 0 και έχει
ρίζες τις  
1 2 ω 1 και ω 3 . Άρα     x y 1 ή x y 3.
Δηλαδή η αρχική εξίσωση παριστάνει τις ευθείες     x y 1 και x y 3
και επειδή έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι μεταξύ τους
παράλληλες.
β. Για     x 0 είναι y 1 και για y 0 είναι x 1. Άρα η  1 ε τέμνει τους
άξονες στα σημεία     Κ 0,1 και Λ 1,0 .
Για     x 0 είναι y 3 και για y 0 είναι x 3. Άρα η  
2 ε τέμνει τους
άξονες στα σημεία     Μ 0,3 και Ν 3,0 .Τότε το εμβαδόν του (ΚΛΜΝ) ισούται
με:
           
    
1 1
ΚΛΜΠΝ ΟΜΝ ΟΚΛ ΟΜ ΟΝ ΟΚ ΟΛ
2 2
1 1
3 3 1 1 4.
2 2
γ. Αφού η ζητούμενη ευθεία  ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα είναι
της μορφής     y λx ή x 0 y y .
Αν η  ε είναι ο  y y , τότε τα σημεία Α και Β θα ταυτίζονται με τα Κ και Ν
αντίστοιχα και τότε         ΑΒ ΚΝ 3 1 2 . Οπότε ο άξονας  y y είναι λύση.
ΘΕΜΑ 4 - 22565