55 / 130
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
54
M
M
M
M
M
M
M
M
t x 3
x t 3
y 2t 1 y 2 x 3 1
t x 3
y 2x 5
Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση
y
2x 5
,
το σημείο Μ κινείται στην ευθεία
ε: y 2x 5
.
γ.
Έχουμε :
2
2
2
2
d AB 2t 6 4t 2 20t 40t 40
20 t 2t 2 .
.
Άρα:
2
2
2
2
2
d 20 20 t 2t 2 20
t 2t 2 1
t 2t 1 0
t 1 0 που ισχύει.
Η ελάχιστη τιμή της d είναι 20 και αυτό συμβαίνει όταν
t 1 0
t
1
.
Τότε Α(4,0) και Β(0,2).
Θεωρούμε το σημείο Μ(
3,
2) και ευθεία που διέρχεται από το Μ και τέμνει
τους αρνητικούς ημιάξονες στα σημεία Α, Β.
α.
Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείας είναι αρνητικός.
(Μονάδες 10)
β.
Έστω Ε(λ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.
i.
Να αποδείξετε ότι
Ε(λ) 12
για κάθε
λ 0
(Μονάδ
ii.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους ημιάξονες
τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν.
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α.
Επειδή η ευθεία τέμνει τους αρνητικούς ημιάξονες, η γωνία ω που
σχηματίζει με τον άξονα x΄x θα είναι αμβλεία, άρα λ=εφω<0.
ΘΕΜΑ 4 - 22563