Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

51 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
50
2 ε με τετμημένη το 1 , τότε:
i. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β
(Μονάδες 2)
ii. να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι,
ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο.
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α. Διαδοχικά έχουμε :
2 2
x 2xy y 6x 6y 8 0      
 
τριώνυμοως
2
x y
(x y) 6 x y 8 0

      
  (x y 2) x y 4 0        
     
1 ε : x y 2 0 ή x y 4 0
που παριστάνουν ευθείες που είναι παράλληλες μεταξύ τους αφού
  
1 2 λ λ 1 .
β. Έστω Μ(x 0,y0) σημείο της μεσοπαράλληλης ε. Τότε :
 
1 2 d(M,ε ) d(M,ε ) ο ο ο ο x y 2 x y 4
2 2
   
 
ο ο ο ο x y 2 x y 4     (1) ή ο ο ο ο x y 2 x y 4       (2)
Η (1) είναι αδύνατη ενώ η (2) οδηγεί στην ο ο ο ο 2x 2y 6 0 x y 3 0        .
Επομένως η μεσοπαράλληλη ε των ε1 και ε2 είναι η x+y-3=0.
γ. i. Το σημείο Α ανήκει στην ε1 και έχει yΑ = 2, οπότε xΑ=0 επομένως Α(0,2)
Το σημείο Β ανήκει στην ε2 και έχει xΒ= 1, οπότε yΒ=3 επομένως Β(1,3).
ii. Τα ζητούμενα σημεία Γ και Δ βρίσκονται στην ευθεία ε οπότε Γ(xΓ , 3-xΓ) και
Δ(xΔ, 3-xΔ ).
Για να είναι το τετράπλευρο ΑΓΒΔ τετράγωνο πρέπει:  ΑΔ ΒΓ ,  ΓΔ ΑΒ και
 ΑΓ ΒΓ .Έχουμε τότε:
    
Δ Δ Γ Γ ΑΔ ΓΒ x ,1 x 1 x ,x      Δ Γ Γ Δ x 1 x x x 1       (1).