Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

49 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’
48
 
  A Γ A Γ
Κ Κ
x x y y
x και y
2 2
, δηλαδή    Κ 1,2 .
Έστω (κ) η κάθετη ευθεία της (ε) στο σημείο Κ. Είναι:
       
 ε Κ Κ Κ
5 3
λ λ 1 λ 1 λ .
3 5
Άρα η ευθεία (κ) έχει εξίσωση:
 
       
3 3 7
y 2 x 1 y x .
5 5 5
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι πλευρές του ΑΒ και ΑΔ βρίσκονται πάνω στις
ευθείες με εξισώσεις   
1 ε : 2x y 2 0 και   
2 ε : x 2y 6 0 αντίστοιχα. Αν το
κέντρο του είναι το σημείο Κ( 1,2), τότε:
α. να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α και να αποδείξετε ότι Γ(0, 6).
(Μονάδες 12)
β. να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΓΔ και τις συντεταγμένες της κορυφής Δ.
(Μονάδες 13)
Απάντηση:
α. Παρατηρούμε ότι οι ευθείες    
1 2 ε , ε τέμνονται στο σημείο Α, οπότε οι
συντεταγμένες του θα δίνονται από τη λύση του συστήματος:
 
 
         
 
     
 

 

  
2x y 2 0 2 2y 6 y 2 0
x 2y 6 0 x 2y 6
y 2
άρα A 2,2
x 2
Επειδή το Κ είναι το μέσο του ΑΓ ισχύει ότι:

  

   
A Γ
K Γ
A Γ
K Γ
x x
x x 0 και
2
y y
y y 6
2
δηλαδή  
 Γ 0, 6 .
β. Είναι     
1 ΓΔ ΑΒ ε ΓΔ||ΑΒ λ λ λ 2
Επομένως η ευθεία ΓΔ έχει εξίσωση:
          y 6 2 x 0 y 2x 6.
ΘΕΜΑ 2 - 22525