Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

25 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄
24
Δίνονται τα διανύσματα α , β και   u α 2β ,   v 5α 4β για τα οποία ισχύουν:
 u v και   α β 1 .
α. Να αποδείξετε ότι  
1
α β
2
. (Μονάδες 12)
β. Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα  u 3v και  α β είναι αντίρροπα και ότι
  u 3v 14 . (Μονάδες 13)
Απάντηση:
α.   
                
2 2
u v u v 1 α 2β 5α 4β 1 5α 4αβ 10αβ 8β 1
               
2 2
2 2 1
5 α 6αβ 8 β 1 5 1 6αβ 8 1 1 6αβ 3 αβ
2
.
β.    
               u 3v α 2β 3 5α 4β α 2β 15α 12β 14α 14β 14 α β
Άρα τα διανύσματα  u 3v και  α β είναι αντίρροπα.
Επιπλέον      
         
2 2 2 2 2
2 u 3v 14 α β 14 α β 196 α 2αβ β
     
          
 
 
2 2
2 2 1
196 α 2αβ β 196 1 2 1 196 1 1 1 196
2
Άρα    u 3v 196 14 .
Έστω α , β δυο διανύσματα για τα οποία ισχύουν: 
1
β ( ,1)
7
και
    α 7β (μ 2,7 2μ) ,  μ R .
α. Να γράψετε το διάνυσμα α ως συνάρτηση του μ.
(Μονάδες 10)
β. Αν μ = 2, τότε:
i. Να αποδείξετε ότι   α (3, 4) και ότι το α είναι κάθετο στο  α 7β .
(Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 2 - 22505
ΘΕΜΑ 2 - 22519