Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

31 / 130

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄
30
Επιπλέον είναι     α β 3λ 4λ 7λ , άρα    α β α β και από το α
ερώτημα έχουμε ότι  α β .
 Για να δείξουμε ότι  β γ , από α΄ ερώτημα αρκεί να δείξουμε ότι
   β γ β γ .
Από τη σχέση    α β γ 0 ισοδύναμα έχουμε ότι    α β γ , οπότε
     α (β γ) β γ και επειδή  α 3λ είναι   β γ 3λ .
Επιπλέον είναι       β γ 4λ 7λ 3λ 3λ , αφού  λ 0
Άρα    β γ β γ και από το α΄ ερώτημα έχουμε  β γ .
ii. Βρήκαμε ότι  α β και  β γ άρα και  α γ , οπότε υπάρχει  k , με
 k 0 , ώστε  γ kα . Όμως  
α γ
3 7
  3 γ 7 α   3 kα 7 α
 3 k α 7 α . Εδώ διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
 Αν  α 0 , τότε προφανώς και η σχέση   γ kα    γ k 0 0 , οπότε το
ζητούμενο γίνεται ισοδύναμα     7 0 3 0 0 που ισχύει.
 Αν    α 0 α 0 , τότε από τη σχέση  3 k α 7 α έπεται ότι
  
7
3 k 7 k
3
και αφού  k 0 , άρα  
7
k
3
. Τότε η   γ kα
  
7
γ α
3
   3γ 7α   7α 3γ 0 .
Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει ότι   7α 3γ 0 .