Μαθηματικά Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

36 / 130

35
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β’ – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
β. Οι ευθείες αυτές θα έχουν εξίσωση μορφής:
( ) λx y 3λ 4 y – λ x 3 0 4        όπου  λ .
Δίνονται οι ευθείες 1 ε : x 3y 5 0   και 2 ε : 3x y 5 0   .
α. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες 1 ε και 2 ε είναι κάθετες μεταξύ τους.
(Μονάδες 9)
β. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών 1 ε και 2 ε .
(Μονάδες 9)
γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την
αρχή Ο των αξόνων.
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
α. Είναι εύκολο να δούμε ότι οι συντελεστές διεύθυνσης των 1 ε και 2 ε είναι
1 2 ε ε
1
λ ,λ 3
3
   . Επιπλέον,  
1 2 ε ε
1
λ λ 3 1
3
     .
Επομένως, οι 1 ε και 2 ε είναι κάθετες μεταξύ τους.
β. Λύνοντας το σύστημα των 1 ε και 2 ε , έχουμε :
 
x 3y 5 x 3y 5 0 x 3y 5 x 1
3x y 5 0 10y 20 y 2 3 3y 5 y 5 0
    
  
   
 
       
           
.
Άρα,   A 1,2 .
γ. Η ευθεία αυτή θα έχει συντελεστή διεύθυνσης O A
OA
O A
y y 0 2
λ 2
x x 0 1
 
  
 
.
Έτσι η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας είναι :
   
0 OA 0 y y λ x x y 0 2 x 0 y 2x          .
Δίνονται οι ευθείες 1 ε : 3x y 3 0   και 2 ε : x 2y 4 0  
α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών 1 ε και 2 ε .
(Μονάδες 8)
β. Αν η ευθεία 1 ε τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Β και η ευθεία 2 ε τέμνει τον
άξονα x΄x στο σημείο Γ , τότε:
i. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ. (Μονάδες 8)
ii. να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει
εξίσωση την 3x 4y 12 0   . (Μονάδες 9)
ΘΕΜΑ 2 – 18529
ΘΕΜΑ 2 – 18595