22 / 130
21
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄- Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.
Είναι:
2
2
α 1
3 1 3 4 2
2
2
β
3 3 3 9 12 2 3
α β 1
3 3 3 2 3
Οπότε
α β 2 3
1
συν α , β
2
2 2 3
α β
. Άρα
π
α , β
3
.
β.
2
2
2
2
2
2
u α β (α β) α α β (α β) α 2 β
2 3 α
4 ( 3,3) 12 ( 1, 3) 4 3,12 12 12 3 12 4 3,12 12 3
.
Δίνονται τα διανύσματα
α ( 1,3)
και
1
β ( 2,
)
2
.
α.
Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος
u α 2 β
.
(Μονάδες 10)
β.
Να βρείτε τον θετικό αριθμό
x
για τον οποίο τα διανύσματα
u
και
2
v (x ,x 1)
είναι κάθετα.
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α.
Έχουμε
1
u α 2 β 1,3 2 2,
1,3
4, 1 3,4
2
β.
Έχουμε
2
2
u v u v 0 3x 4 x 1 0 3x 4x 4 0 1
Η (1) είναι εξίσωση δευτέρου βαθμού με Δ = 64
Οπότε έχει λύσεις :
2
4 64 4 8
x
3
2 3
6
2
Επειδή x > 0 δεκτή είναι μόνο η
2
x
3
.
ΘΕΜΑ 2 - 20059