24 / 130
23
Τράπεζα Θεμάτων Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄- Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Έστω
α
,
β
δυο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν
3 α
β
9
,
2 α β 1
και
π
α , β
3
.
α.
Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων
α
,
β
και το εσωτερικό γινόμενο
α β
.
(Μονάδες 12)
β.
Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος
u 2α 3β
.
(Μονάδες 13)
Απάντηση:
α.
Έχουμε τις σχέσεις
3 α
β
9
(1) και
2 α
β 1
(2).
Προσθέτουμε τις (1) και (2) κατά μέλη :
3 α β 2 α β 9 1 5 α 10 α 2
.
Πάμε στην σχέση (1) και αντικαθιστούμε το
α 2
.
Οπότε έχουμε
3 2 |β| 9 6 |β| 9
|β| 9 6 |β| 3
.
Για το εσωτερικό γινόμενο έχουμε :
π 1
α β |α| |β| συν α , β 2 3 συν
6 3
3 2
.
β.
Για να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος θεωρούμε το τετράγωνο του
μέτρου. Έτσι έχουμε :
2
2
2
2
2
2
2
|u| |2α 3β|
2α 3β
2α 2 2α 3β
3β 4α 12αβ 9β
2
2
2
2
4 α 12αβ 9 β 4 2 12 3 9 3 16 36 81 61
Άρα
|u| 61
.
ΘΕΜΑ 2 - 20070