74 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α) Επειδή ΑΔ=ΔΕ το Δ είναι μέσο της ΑΕ. Επίσης, η ΑΔ είναι διάμεσος του
τριγώνου ΑΒΜ, οπότε το Δ είναι μέσο της ΒΜ. Επομένως, στο τετράπλευρο
ΑΒΕΜ οι διαγώνιοι ΑΕ και ΒΜ διχοτομούνται άρα, το ΑΒΕΜ είναι
παραλληλόγραμμο.
β) Το Μ είναι το μέσο της ΒΓ, άρα ΒΓ=2ΜΓ (1).
Από την υπόθεση όμως είναι ΒΓ=2ΑΒ (2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι 2ΜΓ=2ΑΒ άρα και ΜΓ=ΑΒ (3).
Επειδή όμως ΑΒΕΜ παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες
δηλαδή ΑΒ=ΜΕ (4).
Από τις σχέσεις (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι ΜΕ=ΜΓ.
Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημεία Ε και Ζ στις προεκτάσεις των ΑΒ (προς
το Β) και ΒΓ (προς το Γ) αντίστοιχα, ώστε ΒΕ=ΓΖ. Να αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα ΑΒΖ και ΑΕΔ είναι ίσα
(Μονάδες 12)
β) οι γωνίες
ΕΔΓ
και
ΑΖΒ
είναι ίσες.
(Μονάδες 13)
Απάντηση:
Β
Ζ
Γ
A
Δ
Ε
ΘΕΜΑ 5575
73