69 / 226
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου
Ακόμη, έχουμε
0
0
0
0
εξ
εξ
εξ
Α Α 180 60 Α 180 Α 120
+ = ⇔ + = ⇔ =
.
Επιπλέον, επειδή ΑΔ εξωτερική διχοτόμος της γωνίας
Α
ισχύει
∧
= ⇔ = ⇔ =
0
εξ
0
Α
120
xΑΓ
xΑΓ
xAΓ 60
2
2
(2).
Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ θα είναι
(2)
0
0
0
0
xΑΓ ΑΓΔ 90 60 ΑΓΔ 90 ΑΓΔ 30
+ = ⇔ + = ⇔ =
άρα, θα είναι και
ΑΓ
ΑΔ
2
=
(3) .
Από τις σχέσεις (1) και (3) συμπεραίνουμε ότι ΑΔ=ΔΖ=ΑΖ οπότε το τρίγωνο ΑΔΖ
είναι ισόπλευρο.
β) Είναι
0
0
0
ΒΓΔ ΒΓΑ ΑΓΔ 60 30 90
= + = + =
.
δηλαδή οι ΑΔ και ΒΓ είναι κάθετες στην ΓΔ άρα, ΑΔ//ΒΓ (4).
Στο τρίγωνο ΑΒΓ το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ ενώνει τα μέσα των πλευρών ΑΒ και
ΑΓ άρα, είναι παράλληλο στην πλευρά ΒΓ άρα ΕΖ//ΒΓ (5) και
ΒΓ ΕΖ
2
=
(6).
Από τις σχέσεις (4) και (5) συμπεραίνουμε ότι ΑΔ//ΕΖ (7).
Ακόμη,
(6)
ΑΓ ΒΓ
ΑΔ
ΕΖ
2 2
= = =
(8).
Από τις σχέσεις (7) και (8) συμπεραίνουμε ότι ΑΔ//=ΕΖ
Άρα, το τετράπλευρο ΑΔΖΕ είναι παραλληλόγραμμο.
Ακόμη, στο παραλληλόγραμμο αυτό δύο διαδοχικές πλευρές του οι ΑΔ και ΔΖ
είναι ίσες. Άρα, το παραλληλόγραμμο ΑΔΖΕ είναι ρόμβος.
68