Γεωμετρία A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

225 / 226

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου
Απάντηση:
α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην
υποτείνουσα ΒΓ οπότε θα ισούται με το μισό της δηλαδή θα είναι
= ⇔ =ΒΓ
ΑΜ ΑΜ ΜΒ
2
.
Δηλαδή το τρίγωνο ΑΜΒ είναι ισοσκελές με
 = = 0 ΜΑΒ ΜΒΑ 30
άρα και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΑΒ με  = 0 ΒΕΑ 90 είναι  = 0 ΕΑΒ 30 οπότε η
απέναντι κάθετη πλευρά ΒΕ θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας δηλαδή
θα είναι
= ΑΒ ΒΕ
2
(1).
β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΗ με  = 0 ΒΗΑ 90 είναι  = 0 ΗΒΑ 30 οπότε η απέναντι
κάθετη πλευρά ΑΗ θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας δηλαδή θα είναι
= ΑΒ ΑΗ
2
(2).
Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι ΑΗ=ΒΕ.
γ) Είναι
 = = 0 ΒΕΑ ΒΗΑ 90
δηλαδή στο τετράπλευρο ΑΗΕΒ η πλευρά ΑΒ φαίνεται από τις απέναντι
κορυφές υπό ίσες γωνίες άρα, το τετράπλευρο ΑΗΕΒ είναι εγγράψιμο.
δ) Στο εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΗΕΒ η πλευρά ΑΗ φαίνεται από τις απέναντι
κορυφές υπό ίσες γωνίες άρα,
 = ⇔ ΑΕΗ ΗΒΑ  = ⇔0 ΑΕΗ 30  = ΑΕΗ ΕΑΒ .
Άρα, οι ευθείες ΕΚ και ΑΒ τεμνόμενες από την ΕΑ σχηματίζουν τις εντός
εναλλάξ γωνίες 
ΑΕΗ και 
ΕΑΒ ίσες συνεπώς, θα είναι ΕΗ//ΑΒ.
224