214 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Με βάση την ΑΒ κατασκευάζουμε ισοσκελές
τρίγωνο ΑΔΒ, εκτός του τριγώνου ΑΒΓ, με γωνία
=
0
Δ 120
. Θεωρούμε τα μέσα
Ζ και Η των πλευρών ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι η ΔΓ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ.
(Μονάδες 8)
β) Αν η ΔΓ τέμνει την ΑΒ στο Θ, να αποδείξετε ότι η γωνία
ΖΘΗ
είναι ορθή.
(Μονάδες 9)
γ) Αν η ΖΚ είναι η κάθετη στην ΑΒ από το σημείο Ζ, να αποδείξετε ότι
=
ΑΔ ΖΚ
4
.
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α) Είναι ΓΑ=ΓΒ ως πλευρές του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΓΒ και ΔΑ = ΔΒ ως
πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΔΑΒ. Άρα, τα σημεία Δ και Γ ισαπέχουν από
τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ άρα, η ευθεία ΔΓ είναι μεσοκάθετος
του ΑΒ.
β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΘ η ΘΖ είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην
υποτείνουσα ΑΔ οπότε ισχύει
= ⇔
ΑΔ ΘΖ
2
=
ΘΖ ΖΑ
.
Άρα, το τρίγωνο ΖΘΑ είναι ισοσκελές με
=
ΖΘΑ ΖΑΘ
(1).
Β
H
A
Δ
Γ
Θ
Κ
Ζ
ΘΕΜΑ 4795
213