221 / 226
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου
μέσο της ΒΔ. Επίσης, από την υπόθεση έχουμε ότι το Η είναι μέσο και της ΑΖ.
Άρα, οι διαγώνιοι ΒΔ και ΑΖ του τετραπλεύρου ΑΒΖΔ διχοτομούνται οπότε το
τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο και επειδή ΑΒ=ΑΔ έχει και δύο
διαδοχικές πλευρές ίσες. Άρα, είναι ρόμβος.
β) Στο τρίγωνο ΒΓΔ είναι
•
Η μέσο της ΒΔ
•
Θ μέσο της ΒΓ.
Άρα,
=
ΔΓ
ΗΘ//
2
(1) οπότε και
ΗΘ// ΑΔ
(2).
Επιπλέον, επειδή το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι ρόμβος ισχύει και ΒΖ//ΑΔ (3).
Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι ΗΘ//ΒΖ άρα, το τετράπλευρο
ΗΒΖΘ είναι τραπέζιο.
γ) Η διάμεσος του τραπεζίου ΗΒΖΘ είναι ίση με το ημιάθροισμα των βάσεων
του άρα, είναι ίση με
+
+
=
=
(1)
ΔΓ ΒΖ
ΗΘ ΒΖ 2
2
2
+
=
ΔΓ 2ΒΖ
2
2
+
=
ΔΓ 2ΒΖ
4
+ +
=
ΔΓ ΒΖ ΒΖ
4
+ +
=
ΔΓ ΑΔ ΑΒ
4
+
ΑΓ ΑΒ
4
αφού ΒΖ=ΑΔ=ΑΒ ως πλευρές του ρόμβου ΑΒΖΔ.
220